Fișă de lucru model Bac Subiectul III — funcții și derivate, 3 probleme cu barem

Fișă de lucru în format Bacalaureat pentru Subiectul al III-lea, partea 1: trei probleme cu funcții și derivate, fiecare cu cerințele a), b), c) de câte 5 puncte — calculul derivatei, tangenta, monotonia, limite și inegalități. La final găsești baremul de notare, pe pagină separată la printare.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — model Bac Subiectul al III-lea, partea 1 (funcții și derivate), clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Fiecare problemă are trei cerințe de câte 5 puncte (15 puncte pe problemă, 45 de puncte în total), ca la Subiectul al III-lea, partea 1, la Bacalaureat. Timp recomandat: 45 de minute. Problema 3 conține o cerință de tip M1.

Problema 1 (15 puncte)

Se consideră funcția \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-4x+2\ln x\).

  1. a) Arată că \(f'(x)=\frac{2(x-1)^2}{x}\), \(x\in(0,\infty)\). (5p)
  2. b) Determină ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=1\), situat pe graficul funcției \(f\). (5p)
  3. c) Demonstrează că \(x^2+2\ln x\ge 4x-3\), pentru orice \(x\in[1,\infty)\). (5p)

Problema 2 (15 puncte)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\left(x^2-3\right)e^x\).

  1. a) Arată că \(f'(x)=(x-1)(x+3)e^x\), \(x\in\mathbb{R}\). (5p)
  2. b) Determină intervalele de monotonie ale funcției \(f\). (5p)
  3. c) Demonstrează că \(-2e\le f(x)\le\frac{6}{e^3}\), pentru orice \(x\in(-\infty,1]\). (5p)

Problema 3 (15 puncte)

Se consideră funcția \(f:(-1,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\ln(x+1)-\frac{x}{x+1}\).

  1. a) Arată că \(f'(x)=\frac{x}{(x+1)^2}\), \(x\in(-1,\infty)\). (5p)
  2. b) (M1) Calculează \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}\). (5p)
  3. c) Demonstrează că \(\ln(x+1)\ge\frac{x}{x+1}\), pentru orice \(x\in(-1,\infty)\). (5p)
Barem de notare — apasă pentru a le afișa

Barem de notare

  1. \(f'(x)=2x-4+\frac{2}{x}\) (3p); \(=\frac{2x^2-4x+2}{x}=\frac{2(x-1)^2}{x}\) (2p)
  2. \(f(1)=-3\) (2p), \(f'(1)=0\) (2p); tangenta \(y=-3\) (1p)
  3. \(f'(x)\ge 0\) pe \((0,\infty)\), deci \(f\) este crescătoare (2p); pentru \(x\ge 1\): \(f(x)\ge f(1)=-3\) (2p), adică \(x^2-4x+2\ln x\ge -3\), de unde concluzia (1p)
  4. \(f'(x)=2x\,e^x+\left(x^2-3\right)e^x\) (3p); \(=\left(x^2+2x-3\right)e^x=(x-1)(x+3)e^x\) (2p)
  5. \(f'(x)=0\iff x\in\{-3,1\}\) (2p); \(f\) crescătoare pe \((-\infty,-3]\) și pe \([1,\infty)\) (2p), descrescătoare pe \([-3,1]\) (1p)
  6. Pe \((-\infty,-3]\), \(f\) crește și \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\), deci \(0\lt f(x)\le f(-3)=\frac{6}{e^3}\) (2p); pe \([-3,1]\), \(f\) descrește, deci \(f(1)=-2e\le f(x)\le f(-3)=\frac{6}{e^3}\) (2p); concluzia (1p)
  7. \(f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}\) (3p); \(=\frac{x+1-1}{(x+1)^2}=\frac{x}{(x+1)^2}\) (2p)
  8. Cazul \(\frac{0}{0}\), \(f(0)=0\) (1p); cu l'Hôpital: \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2(x+1)^2}\) (3p) \(=\frac{1}{2}\) (1p)
  9. \(f'(x)\le 0\) pe \((-1,0]\), \(f'(x)\ge 0\) pe \([0,\infty)\), deci \(f\) descrescătoare pe \((-1,0]\) și crescătoare pe \([0,\infty)\) (2p); \(f(x)\ge f(0)=0\) (2p), de unde concluzia (1p)

Teorie: Formule Bac matematică M1 și M2 · Aplicații ale derivatelor · Bac 2026 M1 rezolvat · Bac 2026 M2 rezolvat · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru