Test model Bac clasa a 11-a — matrice, sisteme, limite, derivate, 100p, cu răspunsuri

Test de evaluare pentru clasa a 11-a după modelul Bacalaureatului: Subiectul I (6 itemi), Subiectul al II-lea (matrice și sisteme liniare cu parametru) și Subiectul al III-lea, partea 1 (studiul unei funcții cu derivate), plus limite și continuitate. Total 100 de puncte, din care 10 din oficiu.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — test model Bac (Subiectele I, II și III), 100 de puncte, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru: 2 ore.

Subiectul I (30 de puncte)

  1. (5p) Calculează determinantul \(\begin{vmatrix}3&2\\4&5\end{vmatrix}\).
  2. (5p) Calculează \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n^2+3}{n^2+n}\).
  3. (5p) Determină numerele reale \(x\) pentru care \(\begin{vmatrix}x&1\\4&x\end{vmatrix}=5\).
  4. (5p) Calculează \(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}\).
  5. (5p) Determină ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) a graficului funcției \(f(x)=\frac{3x-1}{x+2}\), \(x\ne -2\).
  6. (5p) Calculează \(f'(x)\) pentru \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-3x+2\).

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră matricea \(A=\begin{pmatrix}3&-2\\1&0\end{pmatrix}\). (5p) a) Arată că \(\det A=2\).
  2. (5p) b) Arată că \(A^2=3A-2I_2\).
  3. (5p) c) Determină numerele reale \(x\) pentru care \(\det\left(A-xI_2\right)=0\).
  4. Se consideră sistemul \(\begin{cases}x+y+z=3\\x+2y+3z=6\\x+4y+mz=m+5\end{cases}\), \(m\in\mathbb{R}\). (5p) a) Arată că determinantul matricei sistemului este egal cu \(m-7\).
  5. (5p) b) Arată că \((1,1,1)\) este soluție a sistemului pentru orice \(m\) și determină valorile lui \(m\) pentru care sistemul are soluție unică.
  6. (5p) c) Pentru \(m=7\), rezolvă sistemul.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}\). (5p) a) Arată că \(f'(x)=-\frac{4x}{\left(x^2+1\right)^2}\).
  2. (5p) b) Determină ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=1\).
  3. (5p) c) Arată că \(1\lt f(x)\le 3\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).
  4. Se consideră funcția \(g:(-1,\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1+x)}{x},&x\ne 0\\a,&x=0\end{cases}\). (5p) a) Determină \(a\in\mathbb{R}\) pentru care \(g\) este continuă în 0.
  5. (5p) b) Pentru funcția \(f\) de mai sus, scrie asimptota orizontală spre \(+\infty\) și calculează \(\lim\limits_{x\to\infty}x^2\left(f(x)-1\right)\).
  6. (5p) c) Calculează \(\lim\limits_{x\to\infty}\left(f(x)\right)^{x^2}\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. 7
  2. 2
  3. \(x\in\{-3,3\}\) (\(x^2-4=5\))
  4. \(\frac{4}{3}\) (\(\frac{x+2}{x+1}\))
  5. \(y=3\)
  6. \(f'(x)=3x^2-3\)
  7. \(3\cdot 0-(-2)\cdot 1=2\)
  8. \(A^2=\begin{pmatrix}7&-6\\3&-2\end{pmatrix}=3A-2I_2\)
  9. \(x^2-3x+2=0\), deci \(x\in\{1,2\}\)
  10. \(\Delta=(2m+3+4)-(2+12+m)\) \(=m-7\)
  11. Verificare directă; soluție unică pentru \(m\ne 7\) (atunci soluția este \((1,1,1)\))
  12. Compatibil nedeterminat: \((\alpha,\,3-2\alpha,\,\alpha)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\)
  13. \(f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2+3)}{(x^2+1)^2}\) \(=-\frac{4x}{(x^2+1)^2}\)
  14. \(f(1)=2\), \(f'(1)=-1\): \(y=-x+3\)
  15. \(f\) crește pe \((-\infty,0]\), descrește pe \([0,\infty)\), maximul \(f(0)=3\); \(f(x)=1+\frac{2}{x^2+1}\gt 1\)
  16. \(a=1\) (limită remarcabilă)
  17. \(y=1\); limita este 2 (\(\frac{2x^2}{x^2+1}\to 2\))
  18. \(e^2\) (\(\left(1+\frac{2}{x^2+1}\right)^{x^2}\), caz \(1^\infty\))

Teorie: Formule Bac matematică · Formule clasa a 11-a · Derivate — tabel · Subiecte Bacalaureat rezolvate · Alte fișe: toate fișele de lucru