Fișă de lucru binomul lui Newton clasa a 10-a — 19 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 19 exerciții pentru clasa a 10-a despre binomul lui Newton: dezvoltări, termenul general, coeficienți binomiali, termenul liber și termeni raționali. Răspunsurile sunt la final, pe pagină separată la printare.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — binomul lui Newton, clasa a 10-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Termenul general al dezvoltării \((a+b)^n\) este \(T_{k+1}=C_n^k\,a^{n-k}\,b^k\), \(k=0,1,\dots,n\).

I. Nivel ușor

  1. Scrie dezvoltarea \((a+b)^3\) folosind binomul lui Newton.
  2. Dezvoltă \((x+2)^4\).
  3. Câți termeni are dezvoltarea \((x+y)^{10}\)?
  4. Scrie termenul general al dezvoltării \((x+3)^7\).
  5. Calculează suma coeficienților binomiali ai dezvoltării \((a+b)^8\).
  6. Determină al treilea termen al dezvoltării \((x+2)^5\).

II. Nivel mediu

  1. Dezvoltă \((2x-1)^4\).
  2. Determină coeficientul lui \(x^3\) din dezvoltarea \((1+2x)^6\).
  3. Determină termenul din mijloc al dezvoltării \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^8\).
  4. Determină termenul liber al dezvoltării \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^6\).
  5. Calculează suma tuturor coeficienților dezvoltării \((3x-2)^5\).
  6. Calculează \(\left(1+\sqrt{2}\right)^4\) folosind binomul lui Newton.
  7. Determină termenul care îl conține pe \(x^4\) în dezvoltarea \(\left(x^2+\frac{2}{x}\right)^5\).

III. Nivel greu

  1. Determină termenul liber al dezvoltării \(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{10}\), \(x\gt 0\).
  2. Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării \(\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^n\) este 64. Determină \(n\) și termenul liber.
  3. Determină termenul liber al dezvoltării \(\left(x-\frac{2}{x}\right)^6\).
  4. (M1) Câți termeni raționali are dezvoltarea \(\left(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)^{12}\)?
  5. Calculează \(C_{10}^0-C_{10}^1+C_{10}^2-\dots+C_{10}^{10}\) și \(C_{10}^0+C_{10}^2+C_{10}^4+\dots+C_{10}^{10}\).
  6. În dezvoltarea \((1+x)^n\), coeficienții binomiali ai termenilor al 3-lea și al 9-lea sunt egali. Determină \(n\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
  2. \(x^4+8x^3+24x^2+32x+16\)
  3. 11 termeni
  4. \(T_{k+1}=C_7^k\,x^{7-k}\,3^k\), \(k=0,\dots,7\)
  5. \(2^8=256\)
  6. \(T_3=C_5^2\,x^3\cdot 2^2=40x^3\)
  7. \(16x^4-32x^3+24x^2-8x+1\)
  8. \(C_6^3\cdot 2^3=160\)
  9. \(T_5=C_8^4=70\)
  10. \(T_4=C_6^3=20\)
  11. 1 (se pune \(x=1\): \((3-2)^5\))
  12. \(17+12\sqrt{2}\)
  13. \(T_3=40x^4\) (\(T_{k+1}=C_5^k 2^k x^{10-3k}\), \(k=2\))
  14. \(T_7=C_{10}^6=210\) (\(\frac{10-k}{2}-\frac{k}{3}=0\Rightarrow k=6\))
  15. \(n=6\); termenul liber \(T_5=C_6^4=15\) (\(12-3k=0\Rightarrow k=4\))
  16. \(T_4=C_6^3(-2)^3=-160\)
  17. 3 termeni (\(k\in\{0,6,12\}\): \(k\) multiplu de 3 și \(12-k\) par)
  18. 0 și \(2^9=512\)
  19. \(n=10\) (\(C_n^2=C_n^8\))

Teorie: Binomul lui Newton — teorie · Combinatorică — formule · Calculator combinări · Formule clasa a 10-a · Alte fișe: toate fișele de lucru