Test Bacalaureat matematică M2 — model complet nr. 2, cu răspunsuri

Model complet de Bacalaureat la matematică, profil M2 (științele naturii), nr. 2, cu structura examenului: Subiectul I (30p), Subiectul al II-lea (30p), Subiectul al III-lea (30p) și 10 puncte din oficiu. Lucrează 3 ore fără întrerupere, apoi verifică răspunsurile de la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — model de Bacalaureat M2 (științele naturii), nr. 2, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru: 3 ore.

Subiectul I (30 de puncte)

  1. (5p) Arată că \(\log_3 18-\log_3 2=2\).
  2. (5p) Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-3\). Determină numărul real \(a\) pentru care punctul \(A(a,5)\) aparține graficului funcției \(f\).
  3. (5p) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x+3}=x+1\).
  4. (5p) După o scumpire cu 20%, un produs costă 360 de lei. Determină prețul produsului înainte de scumpire.
  5. (5p) În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,3)\) și \(B(4,7)\). Determină ecuația dreptei \(AB\).
  6. (5p) Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), cu \(AB=6\) și \(BC=10\). Calculează aria triunghiului și \(\sin C\).

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

  1. (5p) Se consideră matricele \(A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\1&x\end{pmatrix}\), \(x\in\mathbb{R}\). Calculează \(\det\left(A(2)\right)\).
  2. (5p) Arată că \(A(0)\cdot A(0)=I_2\).
  3. (5p) Determină numărul real \(x\) pentru care \(A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}\).
  4. (5p) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y=xy-2x-2y+6\). Calculează \(3\circ 4\).
  5. (5p) Arată că \(x\circ y=(x-2)(y-2)+2\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).
  6. (5p) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația \(x\circ x=11\).

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

  1. (5p) Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-3x+2\). Arată că \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\), \(x\in\mathbb{R}\).
  2. (5p) Determină ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\).
  3. (5p) Determină intervalele de monotonie ale funcției \(f\).
  4. (5p) Se consideră funcția \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x^2+e^x\). Calculează \(\int_0^1\left(g(x)-e^x\right)dx\).
  5. (5p) Arată că funcția \(G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(G(x)=\frac{x^3}{3}+e^x+2026\) este o primitivă a funcției \(g\).
  6. (5p) Calculează aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(h(x)=x\left(g(x)-x^2\right)\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=0\) și \(x=1\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(\log_3\frac{18}{2}=\log_3 9=2\)
  2. \(a=4\)
  3. \(x=1\) (\(x^2+x-2=0\); \(x=-2\) nu verifică, \(x+1\ge 0\))
  4. 300 de lei (\(1{,}2\,p=360\))
  5. \(y=2x-1\)
  6. \(AC=8\), aria \(=24\), \(\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}\)
  7. 3 (\(4-1\))
  8. \(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)
  9. \(x=2\) (\(A(x)^2=\begin{pmatrix}x^2+1&2x\\2x&x^2+1\end{pmatrix}\))
  10. 4
  11. \((x-2)(y-2)+2\) \(=xy-2x-2y+4+2\)
  12. \(x\in\{-1,5\}\) (\((x-2)^2=9\))
  13. \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)
  14. \(y=-3x+2\)
  15. crescătoare pe \((-\infty,-1]\) și pe \([1,\infty)\), descrescătoare pe \([-1,1]\)
  16. \(\frac{1}{3}\)
  17. \(G'(x)=x^2+e^x=g(x)\)
  18. 1 (\(h(x)=x\,e^x\ge 0\) pe \([0,1]\); prin părți: \(\left.(x-1)e^x\right|_0^1\))

Teorie: Formule pentru Bacalaureat · Integrale definite · Formule clasa a 12-a · Programa de Bacalaureat · Alte fișe: toate fișele de lucru