Test Bacalaureat matematică M2 — model complet nr. 1, cu răspunsuri

Model de test pentru Bacalaureat la matematică, profil M2 (științele naturii), în formatul examenului: Subiectul I (6 itemi), Subiectul II (matrice și lege de compoziție), Subiectul III (derivate și integrale), 100 de puncte cu 10 din oficiu. Baremul pe scurt este la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Model de Bacalaureat — Matematică M2 (științele naturii), nr. 1. Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu (total 100 de puncte). Timp de lucru: 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

  1. (5p) Arătați că \(\log_2 12-\log_2 3=2\).
  2. (5p) Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care punctul \(A(a,5)\) aparține graficului funcției \(f\).
  3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3^{x+1}=27^{x-1}\).
  4. (5p) După o ieftinire cu 20%, un produs costă 240 de lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.
  5. (5p) În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,3)\) și \(B(4,-1)\). Determinați coordonatele mijlocului segmentului \(AB\) și lungimea segmentului \(AB\).
  6. (5p) Calculați aria triunghiului \(ABC\) în care \(AB=4\), \(AC=6\) și \(m(\angle A)=30^\circ\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\) și \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).

  1. (5p) a) Arătați că \(\det A=1\).
  2. (5p) b) Arătați că \(A\cdot A-4A+I_2=O_2\).
  3. (5p) c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(\det\left(A+xI_2\right)=0\).

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=xy+2x+2y+2\).

  1. (5p) a) Arătați că \(x*y=(x+2)(y+2)-2\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).
  2. (5p) b) Arătați că \(e=-1\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.
  3. (5p) c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x*x=7\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-3x+2\).

  1. (5p) a) Arătați că \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\), \(x\in\mathbb{R}\).
  2. (5p) b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\).
  3. (5p) c) Demonstrați că \(f(x)\ge 0\), pentru orice \(x\in[-2,\infty)\).

2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2+2x+1\).

  1. (5p) a) Arătați că funcția \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(F(x)=x^3+x^2+x\), este o primitivă a funcției \(f\).
  2. (5p) b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=f(x)-3x^2\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=0\) și \(x=1\).
  3. (5p) c) Determinați numărul real \(a\), \(a\gt 0\), pentru care \(\int_0^a f(x)\,dx=3\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Barem pe scurt (răspunsuri)

  1. \(\log_2\frac{12}{3}=\log_2 4=2\)
  2. \(a=4\) (\(2a-3=5\))
  3. \(x=2\) (\(x+1=3x-3\))
  4. 300 de lei (\(80\%\cdot p=240\))
  5. \(M(3,1)\); \(AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\)
  6. \(\mathcal{A}=\frac{4\cdot 6\cdot\sin 30^\circ}{2}=6\)
  7. \(2\cdot 2-1\cdot 3=1\)
  8. \(A\cdot A=\begin{pmatrix}7&4\\12&7\end{pmatrix}\), \(4A=\begin{pmatrix}8&4\\12&8\end{pmatrix}\), deci \(A\cdot A-4A=-I_2\)
  9. \((x+2)^2-3=0\) \(\Rightarrow x\in\{-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}\}\)
  10. \((x+2)(y+2)-2=\) \(xy+2x+2y+4-2\)
  11. \(x*(-1)=(x+2)\cdot 1-2=x\) și \((-1)*x=x\)
  12. \((x+2)^2=9\Rightarrow x\in\{-5,1\}\)
  13. \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)
  14. \(f(0)=2\), \(f'(0)=-3\): \(y=-3x+2\)
  15. \(f\) crescătoare pe \([-2,-1]\), descrescătoare pe \([-1,1]\), crescătoare pe \([1,\infty)\); minimul pe \([-2,\infty)\) este \(f(-2)=f(1)=0\) (sau \(f(x)=(x-1)^2(x+2)\))
  16. \(F'(x)=3x^2+2x+1=f(x)\)
  17. \(\int_0^1(2x+1)\,dx=2\)
  18. \(a^3+a^2+a=3\) \(\Rightarrow(a-1)(a^2+2a+3)=0\) \(\Rightarrow a=1\)

Teorie: Formule Bac M1 și M2 · Bac 2026 M2 rezolvat · Subiecte Bac rezolvate · Calculator medie Bac · Alte fișe: toate fișele de lucru