Test Bacalaureat matematică M1 — model complet nr. 2, cu răspunsuri

Model complet de Bacalaureat la matematică, profil M1 (mate-info), nr. 2, cu structura examenului: Subiectul I (30p), Subiectul al II-lea (30p), Subiectul al III-lea (30p) și 10 puncte din oficiu. Lucrează 3 ore fără întrerupere, apoi verifică răspunsurile de la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — model de Bacalaureat M1 (mate-info), nr. 2, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru: 3 ore.

Subiectul I (30 de puncte)

  1. (5p) Determină partea reală a numărului complex \(z=\frac{2+i}{1-i}\).
  2. (5p) Determină numărul real \(m\) pentru care valoarea minimă a funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-4x+m\) este egală cu 1.
  3. (5p) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3\).
  4. (5p) Calculează probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 7.
  5. (5p) În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,2)\) și \(B(3,6)\). Determină ecuația mediatoarei segmentului \(AB\).
  6. (5p) Calculează lungimea laturii \(BC\) a triunghiului \(ABC\) în care \(AB=6\), \(AC=8\) și \(\angle A=60^\circ\).

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

  1. (5p) Se consideră matricele \(M(x)=\begin{pmatrix}1+x&x\\-x&1-x\end{pmatrix}\), \(x\in\mathbb{R}\). Arată că \(\det M(x)=1\), pentru orice număr real \(x\).
  2. (5p) Pentru matricele \(M(x)\) de mai sus, arată că \(M(x)\cdot M(y)=M(x+y)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).
  3. (5p) Determină numărul natural \(n\) pentru care \(M(1)\cdot M(2)\cdot\ldots\cdot M(n)=M(55)\).
  4. (5p) Se consideră polinomul \(f=X^3-3X^2+mX+2\), \(m\in\mathbb{R}\). Determină \(m\) pentru care \(f(1)=0\).
  5. (5p) Pentru \(m=0\), determină rădăcinile polinomului \(f\).
  6. (5p) Determină \(m\) pentru care rădăcinile \(x_1,x_2,x_3\) ale lui \(f\) verifică \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=2\).

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

  1. (5p) Se consideră funcția \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-1-\ln x\). Arată că \(f'(x)=\frac{x-1}{x}\), \(x\in(0,\infty)\).
  2. (5p) Determină ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=e\).
  3. (5p) Demonstrează că \(\ln x\le x-1\), pentru orice \(x\in(0,\infty)\).
  4. (5p) Se consideră funcția \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\frac{x}{x^2+1}\). Calculează \(\int_0^1\left(x^2+1\right)g(x)\,dx\).
  5. (5p) Calculează \(\int_0^1 g(x)\,dx\).
  6. (5p) Calculează \(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\ln x}\int_0^x g(t)\,dt\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(\operatorname{Re}z=\frac{1}{2}\) (\(z=\frac{(2+i)(1+i)}{2}=\frac{1+3i}{2}\))
  2. \(m=5\) (\(f_{\min}=f(2)=m-4\))
  3. \(x=3\) (\(x^2-1=8\), condiția \(x\gt 1\))
  4. \(\frac{13}{90}\) (multiplii 14, 21, …, 98)
  5. \(x+2y-10=0\) (mijlocul \((2,4)\), \(m_{AB}=2\), panta mediatoarei \(-\frac{1}{2}\))
  6. \(BC=2\sqrt{13}\) (teorema cosinusului: \(36+64-48=52\))
  7. \((1+x)(1-x)+x^2=1\)
  8. \(M(x)=I_2+xB\), cu \(B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\), \(B^2=O_2\); deci \(M(x)M(y)=I_2+(x+y)B\) \(=M(x+y)\)
  9. \(n=10\) (\(1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}=55\))
  10. \(m=0\)
  11. \(1\), \(1+\sqrt{3}\), \(1-\sqrt{3}\) (\(f=(X-1)\left(X^2-2X-2\right)\))
  12. \(m=-4\) (relațiile lui Viète: \(\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}=\frac{m}{-2}\))
  13. \(f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\)
  14. \(y=\frac{e-1}{e}\,x-1\) (\(f(e)=e-2\), \(f'(e)=\frac{e-1}{e}\))
  15. \(f\) descrescătoare pe \((0,1]\), crescătoare pe \([1,\infty)\), minimul \(f(1)=0\), deci \(f(x)\ge 0\)
  16. \(\frac{1}{2}\)
  17. \(\frac{\ln 2}{2}\)
  18. 1 (\(\int_0^x g(t)\,dt=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)\))

Teorie: Formule pentru Bacalaureat · Integrale definite · Formule clasa a 12-a · Programa de Bacalaureat · Alte fișe: toate fișele de lucru