Test Bacalaureat matematică M1 — model complet nr. 1, cu răspunsuri
Model de test pentru Bacalaureat la matematică, profil M1 (mate-info), în formatul examenului: Subiectul I (6 itemi), Subiectul II (matrice și legi de compoziție), Subiectul III (derivate și integrale), 100 de puncte cu 10 din oficiu. Baremul pe scurt este la final, pe pagină separată la printare.
Model de Bacalaureat — Matematică M1 (mate-info), nr. 1. Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu (total 100 de puncte). Timp de lucru: 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
- (5p) Calculați modulul numărului complex \(z=\frac{3+4i}{1-2i}\).
- (5p) Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-4x+m\). Determinați numărul real \(m\) pentru care vârful parabolei asociate funcției \(f\) se află pe dreapta de ecuație \(y=1\).
- (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x+7}=x+1\).
- (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 7.
- (5p) În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,2)\) și \(B(3,6)\). Determinați ecuația mediatoarei segmentului \(AB\).
- (5p) Știind că \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) și \(\sin x=\frac{3}{5}\), calculați \(\sin 2x\).
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}x+y+z=3\\x+ay+z=a+2\\x+y+az=a+2\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.
- (5p) a) Arătați că \(\det\left(A(2)\right)=1\).
- (5p) b) Determinați numerele reale \(a\) pentru care sistemul este compatibil determinat.
- (5p) c) Arătați că, pentru orice \(a\ne 1\), soluția sistemului nu depinde de \(a\).
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y=xy-3x-3y+12\).
- (5p) a) Arătați că \(x\circ y=(x-3)(y-3)+3\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).
- (5p) b) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x\circ x\circ x=x\).
- (5p) c) Determinați numerele naturale \(n\) pentru care \(n\circ n\le 7\).
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-\ln x\).
- (5p) a) Arătați că \(f'(x)=\frac{x-1}{x}\), \(x\in(0,\infty)\).
- (5p) b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=1\), situat pe graficul funcției \(f\).
- (5p) c) Demonstrați că \(\ln x\le x-1\), pentru orice \(x\in(0,\infty)\).
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=xe^x\), și, pentru fiecare număr natural \(n\), \(I_n=\int_0^1 x^n e^x\,dx\).
- (5p) a) Arătați că \(\int_0^1 f(x)e^{-x}\,dx=\frac{1}{2}\).
- (5p) b) Arătați că \(\int_0^1 f(x)\,dx=1\).
- (5p) c) Demonstrați că \(I_n+nI_{n-1}=e\), pentru orice număr natural \(n\ge 1\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa
Barem pe scurt (răspunsuri)
- \(z=-1+2i\), \(|z|=\sqrt{5}\)
- \(m=5\) (\(x_V=2\), \(f(2)=m-4=1\))
- \(x=2\) (\(x^2+x-6=0\); \(x=-3\) nu verifică \(x+1\ge 0\))
- \(p=\frac{13}{90}\) (multiplii 14, 21, …, 98)
- \(x+2y-10=0\) (prin mijlocul \(M(2,4)\), perpendiculară pe \(AB\), \(m_{AB}=2\))
- \(\cos x=\frac{4}{5}\), \(\sin 2x=\frac{24}{25}\)
- \(\det A(a)=(a-1)^2\), deci \(\det A(2)=1\)
- \(a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) (\(\det A(a)\ne 0\))
- Scăzând prima ecuație: \((a-1)y=a-1\), \((a-1)z=a-1\); soluția \((1,1,1)\)
- \((x-3)(y-3)+3=\) \(xy-3x-3y+9+3\)
- \((x-3)^3=x-3\Rightarrow x\in\{2,3,4\}\)
- \((n-3)^2\le 4\Rightarrow n\in\{1,2,3,4,5\}\)
- \(f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\)
- \(f(1)=1\), \(f'(1)=0\): tangenta \(y=1\)
- \(f\) descrescătoare pe \((0,1]\), crescătoare pe \([1,\infty)\), deci \(f(x)\ge f(1)=1\), adică \(\ln x\le x-1\)
- \(\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}\)
- Prin părți: \(\left.(x-1)e^x\right|_0^1=0-(-1)=1\)
- Prin părți: \(I_n=\left.x^ne^x\right|_0^1-n\int_0^1 x^{n-1}e^x\,dx\) \(=e-nI_{n-1}\)