Fișă de lucru funcții injective, surjective, bijective și funcția inversă clasa a 10-a — cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 10-a despre funcții injective, surjective și bijective și despre funcția inversă: definiții pe mulțimi finite, funcții de gradul I și II, funcții exponențiale, raționale și pe ramuri. Răspunsurile sunt la final, pe pagină separată la printare.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — injectivitate, surjectivitate, bijectivitate și funcția inversă, clasa a 10-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț.

I. Nivel ușor

  1. Fie \(f:\{1,2,3\}\to\{a,b,c\}\), \(f(1)=b\), \(f(2)=c\), \(f(3)=a\). Este \(f\) bijectivă? Dacă da, scrie inversa.
  2. Fie \(f:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3\}\), \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(3)=3\), \(f(4)=1\). Este \(f\) injectivă? Dar surjectivă?
  3. Arată, folosind definiția, că \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-2\) este injectivă.
  4. Arată că \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\) nu este nici injectivă, nici surjectivă.
  5. Determină inversa funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+5\).
  6. Adevărat sau fals? a) Orice funcție strict monotonă este injectivă; b) \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=|x|\) este injectivă; c) \(f:[0,\infty)\to[0,\infty)\), \(f(x)=x^2\) este bijectivă.

II. Nivel mediu

  1. Arată că \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+1\) este bijectivă și determină inversa.
  2. Arată că \(f:\mathbb{R}\to(0,\infty)\), \(f(x)=2^x\) este bijectivă și scrie inversa.
  3. Fie \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-4x+5\). Studiază injectivitatea și surjectivitatea.
  4. Arată că \(f:[2,\infty)\to[1,\infty)\), \(f(x)=x^2-4x+5\) este bijectivă și determină inversa.
  5. Funcția \(f\) este bijectivă, \(f(3)=7\), iar punctul \(A(2,5)\) aparține graficului lui \(f\). Calculează \(f^{-1}(7)\) și scrie un punct al graficului lui \(f^{-1}\).
  6. Determină \(m\in\mathbb{R}\) pentru care \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(m-1)x+3\) este bijectivă.

III. Nivel greu

  1. Arată că \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\begin{cases}x+1, & x\le 0\\2x+1, & x\gt 0\end{cases}\) este bijectivă și determină inversa.
  2. Studiază injectivitatea și surjectivitatea funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\begin{cases}x+3, & x\lt 1\\2x, & x\ge 1\end{cases}\).
  3. Arată că \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}\), \(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\) este bijectivă și determină inversa.
  4. Fie \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-1\). Calculează \(f\circ f\) și rezolvă ecuația \(f(x)=f^{-1}(x)\).
  5. Arată că \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x\) este injectivă.
  6. (M1) Determină \(a\in\mathbb{R}\) pentru care \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\begin{cases}x+a, & x\le 1\\2x-1, & x\gt 1\end{cases}\) este bijectivă.
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. Da; \(f^{-1}(a)=3\), \(f^{-1}(b)=1\), \(f^{-1}(c)=2\)
  2. Nu este injectivă (\(f(1)=f(4)\)); este surjectivă
  3. \(f(a)=f(b)\Rightarrow 3a-2=3b-2\), deci \(a=b\)
  4. \(f(-1)=f(1)=1\); \(-1\) nu are preimagine (\(x^2\ge 0\))
  5. \(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{2}\)
  6. a) A; b) F (\(f(-1)=f(1)\)); c) A
  7. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}\)
  8. \(f^{-1}:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f^{-1}(x)=\log_2 x\)
  9. Nu e injectivă (\(f(0)=f(4)=5\)); nu e surjectivă (\(\operatorname{Im}f=[1,\infty)\))
  10. \(f(x)=(x-2)^2+1\); \(f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-1}\)
  11. \(f^{-1}(7)=3\); \(A'(5,2)\) (graficele sunt simetrice față de dreapta \(y=x\))
  12. \(m\ne 1\), adică \(m\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
  13. \(f^{-1}(x)=\begin{cases}x-1, & x\le 1\\\frac{x-1}{2}, & x\gt 1\end{cases}\)
  14. Nu e injectivă (\(f(0)=f\left(\frac{3}{2}\right)=3\)); e surjectivă (\((-\infty,4)\cup[2,\infty)=\mathbb{R}\))
  15. \(f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-2}\)
  16. \((f\circ f)(x)=9x-4\); \(x=\frac{1}{2}\) (\(f^{-1}(x)=\frac{x+1}{3}\))
  17. \(f(a)-f(b)=(a-b)(a^2+ab+b^2+1)\), iar al doilea factor este pozitiv
  18. \(a=0\) (\(f((-\infty,1])=(-\infty,1+a]\), \(f((1,\infty))=(1,\infty)\); trebuie \(1+a=1\))

Teorie: Proprietățile funcțiilor — injectivitate, surjectivitate, inversa · Funcții — noțiuni introductive · Formule clasa a 10-a · Alte fișe: toate fișele de lucru